교대로 행. 라이프니츠의 징후. 절대 및 조건부 수렴. 교대 시리즈. 절대 및 조건부 수렴 교대 계열

숫자 시리즈

멤버 중에 양수와 음수가 모두 있으면 교대로 호출됩니다.

인접한 두 항에 반대 부호가 있으면 숫자 계열을 교대라고 합니다.

여기서 모두(즉, 양수 용어와 음수 용어가 차례로 서로 이어지는 계열)입니다. 예를 들어,

교대 기호가 있는 계열의 경우 충분한 수렴 기호가 있습니다(1714년 라이프니츠가 I. 베르누이에게 보낸 편지에서 확립함).

라이프니츠의 징후. 계열의 절대 및 조건부 수렴

정리(라이프니츠 테스트).

다음과 같은 경우 교대 계열이 수렴됩니다.

계열 항의 절대값 순서는 단조롭게 감소합니다. 즉 ;

시리즈의 일반적인 용어는 0이 되는 경향이 있습니다.

이 경우 급수의 합 S는 부등식을 충족합니다.

노트.

형태의 교대 시리즈 연구

(와 함께 음수 먼저항)은 계열을 연구하기 위해 모든 항을 곱하여 감소됩니다.

라이프니츠 정리의 조건을 만족하는 급수를 라이프니츠 급수(또는 라이프니츠 급수)라고 합니다.

이 관계를 통해 주어진 계열의 합 S를 부분합으로 대체할 때 발생하는 오류에 대한 간단하고 편리한 추정을 얻을 수 있습니다.

버려진 계열(나머지)은 또한 교대 계열이며, 그 합은 이 계열의 첫 번째 항보다 모듈러스가 적습니다. 즉, 오류는 버려진 항 중 첫 번째 항의 모듈러스보다 작습니다.

예. 계열의 합을 대략적으로 계산합니다.

해결책: 이 시리즈는 라이프니츠 유형입니다. 맞습니다. 당신은 쓸 수 있습니다:

5명의 멤버를 모집합니다. 교체 가능

작은 실수를 해보자

어떻게. 그래서,.

교대 계열의 경우 수렴에 대한 다음과 같은 일반적인 충분 기준이 유지됩니다.

정리. 교대 시리즈를 제공하자

계열이 수렴하는 경우

주어진 계열의 항 모듈로 구성되면 교대 계열 자체가 수렴됩니다.

교대 기호 계열에 대한 라이프니츠 수렴 테스트는 교대 기호 계열의 수렴에 대한 충분한 기준 역할을 합니다.

교대 계열은 구성원의 절대 값으로 구성된 계열이 수렴하는 경우 절대 수렴이라고 합니다. 모든 절대적으로 수렴하는 계열은 수렴합니다.

교대 계열이 수렴하지만 해당 구성원의 절대값으로 구성된 계열이 발산하는 경우 이 계열을 조건부(비절대) 수렴이라고 합니다.

수업 과정

교대 계열의 수렴(절대 또는 조건부)을 검사합니다.

따라서 라이프니츠의 기준에 따르면 급수는 수렴합니다. 이 급수가 절대적으로 수렴하는지 조건부로 수렴하는지 알아봅시다.

주어진 급수의 절대값으로 구성된 급수는 발산하는 조화 급수이다. 따라서 이 급수는 조건부로 수렴합니다.

이 계열의 항은 절대값이 단조롭게 감소합니다.

라이프니츠의 검정이 성립하지 않기 때문에 급수가 발산합니다.

라이프니츠의 테스트를 사용하면 다음을 얻습니다.

저것들. 시리즈는 수렴합니다.

이것은 수렴하는 형태의 기하학적 급수입니다. 그러므로 이 급수는 절대적으로 수렴한다.

라이프니츠 테스트를 사용하면

저것들. 시리즈는 수렴합니다.

이 계열 항의 절대값으로 구성된 계열을 고려해 보겠습니다.

이것은 발산하는 일반화된 고조파 급수입니다. 따라서 이 급수는 조건부로 수렴합니다.

교대 급수 수렴 항

정의 1. 숫자 시리즈,
어디라고 불리는지 근처에 표지판이 번갈아 표시됩니다.

그러한 계열의 수렴을 확립하려면 충분합니다.

라이프니츠 테스트(Leibniz test)라고 불리는 수렴 테스트.

정리 1(라이프니츠 테스트). 숫자 계열이 다음 조건을 충족하도록 하세요.
1) 즉, 이 시리즈는 교대로 진행됩니다.
2) 이 계열의 항은 절대값이 단조롭게 감소합니다. 즉 ;
3) 계열의 일반항은 0이 되는 경향이 있습니다. 즉 .
그런 다음 급수는 수렴하고 그 합은 입니다.

증거. 1) 먼저 짝수의 부분합을 고려하여 다음과 같은 형식으로 작성합니다. 정리 1의 조건 2)에 의해 괄호 안의 수식은 모두 양수가 되며, 합과 수열은 단조롭게 증가합니다.

이제 이 금액을 다르게 작성해 보겠습니다.
마지막 수식에서 괄호 안의 수식은 각각 양수이므로 는 수열이 유계됨을 의미하며, 단조 증가하므로 수렴한다. 즉, , 및 가 있습니다.

2) 양수인 홀수 차수의 부분합을 고려합니다. 수열과 . for 형식으로 표현식을 작성해 보겠습니다. 괄호 안의 모든 표현식은 양수이므로 . 정리 1의 조건 3)에 따르면, , 어디서 .

그래서 모두들 앞에서 N(짝수 또는 홀수) 따라서 원래 계열은 수렴합니다. 정리가 입증되었습니다.

참고 1. 라이프니츠의 검정은 어떤 숫자 N에서 정리의 조건이 충족되는 계열에도 적용될 수 있습니다.
노트 2. 급수 항의 단조성에 대한 정리 1(라이프니츠의 검정)의 조건 2)가 필수적입니다.

실시예 1. 계열의 수렴을 조사합니다.

해결책.을 나타내자. 우리는 이 계열에 라이프니츠의 검정을 적용합니다. 정리 1의 조건이 충족되는지 확인해 보겠습니다. 조건 1) 계열이 교대로 나타납니다. 조건 2)가 충족됩니다: ; 조건 3)도 만족됩니다: . 결과적으로 라이프니츠의 기준에 따르면 이 급수는 수렴하고 그 합은 입니다.

답변:시리즈는 수렴합니다.

3.2. 교대 시리즈. 절대 및 조건부 수렴.
교대 계열의 수렴에 대한 충분한 신호

멤버에 임의의 기호(+), (-)가 있는 숫자 계열을 호출합니다. 교대 시리즈. 위에서 논의한 교대 계열은 교대 계열의 특별한 경우입니다. 모든 교대 계열이 교대하는 것은 아니라는 것이 분명합니다. 예를 들어, 교대 계열은 있지만 교대 계열은 아닙니다.

교대 계열에는 부호(+)와 부호(-)가 모두 포함된 항이 무한히 많습니다. 예를 들어 이것이 사실이 아닌 경우 계열에 유한한 수의 음수 용어가 포함되어 있으면 이를 폐기하고 양수 용어로만 구성된 계열을 고려할 수 있으며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

정의 1. 숫자 계열이 수렴하고 그 합이 다음과 같은 경우 에스,
부분합은 다음과 같습니다. Sn, 그런 다음 호출됩니다. 시리즈의 나머지 부분, 그리고 , 즉 수렴 계열의 나머지는 0이 되는 경향이 있습니다.

교대 계열의 특별한 경우로 수렴하는 교대 계열을 고려해 보겠습니다.

어디 . 라이프니츠의 기준에 따라 형식으로 작성해 보겠습니다. 그 이후로, 즉 수렴 계열의 나머지는 0이 되는 경향이 있습니다.

교대 계열의 경우 절대 및 조건부 개념

수렴.

정의 2. 시리즈라고 합니다 절대적으로 수렴, 구성원들의 절대값으로 구성된 계열이 수렴하는 경우.

정의 3. 숫자 계열이 수렴하고, 해당 구성원의 절대값으로 구성된 계열이 발산하는 경우 원래 계열을 호출합니다. 조건부로 (절대 아니다) 수렴하는.

정리 2(교대 계열의 수렴에 대한 충분한 기준). 교대 급수는 수렴하며, 해당 항의 절대값으로 구성된 급수는 절대적으로 수렴합니다.

증거. 계열의 부분합 : 으로 표시하고 − 계열의 부분합 : 으로 표시하겠습니다. 모든 양의 항의 합과 에 포함된 모든 음의 항의 절대값의 합으로 표시하겠습니다. .

정리의 조건에 따라 급수는 수렴하고 존재하며 수열은 단조 증가하고 음수가 아니므로 입니다. , 그러면 시퀀스 과 는 단조 증가하고 경계가 있으며 그 한계는 과 같습니다. 그 다음에 . 이는 원래 교대 계열이 수렴하고 절대적으로 수렴함을 의미합니다. 정리가 입증되었습니다.

논평. 정리 2는 교대 계열의 수렴에 대한 충분 조건만 제공합니다. 역정리는 참이 아닙니다. 즉, 교대 계열이 수렴하는 경우 모듈로 구성된 계열이 수렴할 필요는 없습니다(수렴하거나 발산할 수 있음). 예를 들어, 급수는 라이프니츠의 기준에 따라 수렴하지만(이 강의의 예 1 참조), 구성원의 절대값으로 구성된 급수(조파 급수)는 발산합니다.

예시 2.조건부 수렴과 절대 수렴에 대해 계열을 조사합니다.

해결책.이 계열은 교대로 표시되며 일반적인 용어는 다음과 같이 표시됩니다. 일련의 절대값을 컴파일하고 여기에 D'Alembert의 테스트를 적용해 보겠습니다. , . 변환을 수행한 후 우리는 를 얻습니다. 따라서 급수는 수렴합니다. 이는 원래 교대 급수가 절대적으로 수렴한다는 것을 의미합니다.
답변: 계열은 절대적으로 수렴합니다.

예시 3.절대 및 조건부 수렴에 대해 계열을 검사합니다.

해결책. A) 절대 수렴에 대한 계열을 조사합니다. 일련의 절대값을 지정하고 구성해 보겠습니다. 우리는 계열을 비교하기 위한 한계 테스트를 적용하는 양의 항을 갖는 계열을 얻습니다(정리 2, 강의 2, 섹션 2.2). 계열과 비교하려면 형식이 있는 계열을 고려하십시오. 이 계열은 지수가 있는 Dirichlet 계열입니다. 그는 갈라진다. 다음 극한을 구성하고 계산해 보겠습니다. 극한이 존재하고 0과 같지 않고 무한대와 같지 않기 때문에 두 계열 모두 동일하게 동작합니다. 따라서 계열이 발산합니다. 이는 원래 계열이 절대적으로 수렴하지 않음을 의미합니다.

B) 다음으로 조건부 수렴에 대한 원본 계열을 검토합니다. 이를 위해 라이프니츠 테스트(정리 1, 섹션 3.1) 조건이 충족되는지 확인해 보겠습니다. 조건 1): , 여기서 , 즉 이 시리즈는 번갈아 가며 진행됩니다. 조건 2)의 계열항의 단조적 감소를 확인하기 위해 다음과 같은 방법을 사용한다. 에 정의된 보조 기능을 고려해 보겠습니다(함수는 에 있습니다). 이 함수의 단조성을 조사하기 위해 도함수를 찾아보겠습니다. 이 파생물은 . 결과적으로 함수는 표시된 값에 대해 단조롭게 감소합니다. 엑스. 을 가정하면, 우리는 어디에 있는지 알 수 있습니다. 이는 조건 2)가 만족된다는 의미이다. 조건 3)을 확인하기 위해 공통항의 극한을 찾습니다. 세 번째 조건이 충족되었습니다. 따라서 원래 계열의 경우 라이프니츠 테스트의 모든 조건이 충족됩니다. 그것은 수렴한다.

답변: 계열은 조건부로 수렴합니다.

인접한 두 구성원이 서로 다른 부호를 갖는 경우 계열을 교대라고 합니다. u 1 – u 2 + u 3 – u 4 +… + u n + … 형식의 계열. 여기서 u 1, u 2, …, u n, …은 양수입니다.

라이프니츠의 정리. 절댓값으로 취한 교대 급수의 항이 단조롭게 감소하고 급수의 일반 항의 모듈러스가 에서 0이 되는 경향이 있는 경우, 즉
, 그러면 계열이 수렴됩니다.

예시 1.

교대 계열의 수렴을 조사합니다.

.

절대값으로 취한 계열의 항은 단조롭게 감소합니다.

시리즈가 수렴됩니다.

1.6. 교대 시리즈. 계열의 절대 및 조건부 수렴

열 유 1 + 유 2 +…+ 유 N +… 구성원이 긍정적인 요소와 부정적인 요소를 모두 포함하는 경우 교대라고 합니다.

교대 계열은 교대 계열의 특별한 경우입니다.

정리. 교대 시리즈가 주어지면 유 1 + 유 2 +…+ 유 N +…(1). 시리즈를 만들어보자 | 유 1 |+| 유 2 |+…+| 유 N |+… (2). 급수(1)의 항의 절대값으로 구성된 급수(2)가 수렴하면 급수(1)이 수렴합니다.

정의. 교대 시리즈 유 1 + 유 2 +…+ 유 N +… 구성원의 절대값으로 구성된 계열이 수렴하는 경우 절대 수렴이라고 합니다 | 유 1 |+| 유 2 |+…+| 유 N |+… .

교대 계열(1)이 수렴하고 해당 구성원의 절대값으로 구성된 계열(2)이 발산하는 경우 이 교대 계열(1)을 조건부 또는 비절대 수렴 계열이라고 합니다.

예시 1.

수렴 및 절대 수렴에 대한 계열을 조사합니다.
.

교번급수는 라이프니츠의 정리에 따라 수렴합니다. 왜냐하면
. 계열의 항은 단조롭게 감소하며
. 이제 우리는 절대 수렴에 대해 이 계열을 조사합니다. 이 계열 항의 절대값으로 구성된 계열을 고려해 보겠습니다. . d'Alembert의 테스트를 사용하여 이 계열의 수렴을 조사해 보겠습니다.
. 시리즈가 수렴됩니다. 이는 주어진 교대 계열이 절대적으로 수렴한다는 것을 의미합니다.

예시 2.

수렴 및 절대 수렴에 대한 계열을 조사합니다.
.

라이프니츠의 정리에 따르면
. 시리즈가 수렴됩니다. 주어진 계열의 구성원의 절대값으로 구성된 계열은 다음과 같은 형태를 갖습니다.
. d'Alembert의 기준을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
. 급수는 수렴합니다. 이는 주어진 교대 급수가 절대적으로 수렴함을 의미합니다.

2. 기능성 시리즈. 기능계열의 수렴영역

특정 간격으로 정의된 일련의 함수를 생각해 보세요. [ ㅏ, 비] :

에프 1 (엑스), 에프 2 (엑스), 에프 3 (엑스) … 에프 N (엑스), ….

이러한 기능을 시리즈의 구성원으로 사용하여 시리즈를 구성합니다.

에프 1 (엑스) + 에프 2 (엑스) + 에프 3 (엑스) + … + 에프 N (엑스) + …, (1)

라고 불리는 기능 범위.

예를 들어: 죄(x) + 죄(2x) + 죄(3x) + … + 죄(nx) + …

특별한 경우에 기능 계열은 다음과 같습니다.

라고 불리는 파워 시리즈, 어디
호출되는 상수 멱급수 항의 계수.

거듭제곱 계열은 다음 형식으로 작성할 수도 있습니다.

어디
어떤 상수.

특정 고정 또는 수치 엑스우리는 수렴하거나 발산할 수 있는 숫자 계열을 얻습니다.

정의 : 모든 값의 집합 엑스(또는 모든 포인트 엑스수직 계열이 수렴하는 수직선)을 호출합니다. 멱급수의 수렴 영역.

예시 1.

멱급수의 수렴 영역을 찾습니다.

해결책 (1방향).

d'Alembert의 검정을 적용해보자.

d'Alembert의 검정은 다음의 계열에만 적용 가능하므로 긍정적인 회원, 한계 기호 아래의 표현식은 절대값으로 간주됩니다.

d'Alembert의 검정에 따르면 계열은 다음과 같이 수렴합니다.
그리고
.

저것들. 다음과 같은 경우 계열이 수렴합니다. < 1, откуда
또는 -3< 엑스<3.

우리는 이 거듭제곱의 수렴 간격을 얻습니다: (-3;3).

간격의 극단 지점에서 엑스 =
, 가질 것이다
.

이 경우, d'Alembert의 정리는 급수의 수렴 문제에 답하지 않습니다.

경계점에서의 수렴에 대한 계열을 검사합니다.

x = -3,

우리는 교대 시리즈의 부호를 얻습니다. 라이프니츠 기준을 사용하여 수렴을 조사합니다.

1.
절대값으로 취한 계열의 항은 단조롭게 감소합니다.

2.
따라서 급수는 x = -3 점에서 수렴합니다.

엑스 = 3,

우리는 긍정적인 시리즈를 얻습니다. 계열의 수렴을 위해 적분 코시 테스트를 적용해 보겠습니다.

계열의 항은 단조롭게 감소합니다.

기능
사이
:

.

부적절한 적분은 발산합니다. 이는 x=3 지점에서 급수가 발산함을 의미합니다.

답변:

두 번째 방법멱급수의 수렴 영역을 결정하는 것은 멱급수의 수렴 반경에 대한 공식 적용을 기반으로 합니다.

, 어디 그리고
승산 그리고
시리즈의 멤버.

이 시리즈에는 다음이 포함됩니다.

. 아르 자형=3.

계열이 수렴하다

계열 수렴 간격: -3< 엑스<3.

다음으로 이전 사례와 마찬가지로 경계점을 탐색해야 합니다. 엑스 =
.

답변:계열의 수렴 영역 [-3;3).

참고하세요거듭제곱 계열의 수렴 영역을 결정하는 두 번째 방법은 계열의 수렴 반경에 대한 공식을 사용하는 것입니다.
더 합리적입니다.

예시 2.

멱급수의 수렴 영역을 찾습니다.
.

우리는 찾을 것이다 아르 자형– 계열의 수렴 반경.

,
,
.

.
.

계열 수렴 구간(- ;).

우리는 계열의 수렴 지점을 조사합니다. 엑스 = -그리고 엑스 = .

엑스 = - ,

우리는 교대 시리즈의 부호를 얻습니다. 라이프니츠의 검정을 적용해보자:

1.
절대값으로 취한 계열의 항은 단조롭게 감소합니다.

2.
, 따라서 지점 x = -의 계열 수렴한다.

x = ,
.

우리는 긍정적인 멤버들과 줄을 섰습니다. 통합 Cauchy 테스트를 적용해 보겠습니다.

여기
:

, 시리즈의 구성원
단조롭게 감소합니다.

기능
사이
:

.

부적절한 적분은 발산하고, 급수는 발산합니다.

답변: [-;) – 시리즈의 수렴 영역.

임의의 기호를 갖는 계열을 고려해 보겠습니다. 교대로(수학 문헌에서 교대 급수와 교대 급수(이러한 급수는 나중에 논의됨)라는 용어는 동일한 의미라는 점에 유의하십시오. 그러나 여기서는 N.S. Piskunov가 그의 "미분 및 적분 미적분학"에서 사용한 용어를 채택하여 표기법을 단축했습니다. : "구성원이 임의의 부호를 갖는 계열"이라는 단어 대신 "교대 계열"이라고 말합니다. 주어진 계열에 유한한 수의 음수 용어만 있는 경우 이를 폐기하고 양수 용어가 있는 계열을 연구하는 것으로 문제를 줄일 수 있습니다. 유한한 수의 양수 항만 있는 계열에도 동일하게 적용됩니다. 그러므로 우리는 시리즈의 구성원들 사이에 긍정적인 구성원과 부정적인 구성원 모두 무한한 수가 있다고 분명히 가정할 것입니다.

다음 정리는 참입니다

정리 30. 8.(절대 수렴 테스트)

임의의 기호로 구성된 계열을 제시해 보겠습니다. 계열이 수렴하는 경우

항의 절대값으로 구성되면 주어진 계열이 수렴됩니다. 여기서 .

정의 30.4.계열이 수렴하고 계열이 수렴하는 경우 계열을 호출합니다. 절대적으로 수렴. 계열이 수렴하고 계열이 발산하는 경우 계열을 호출합니다. 조건부로 (절대적으로는 아님) 수렴.

특정 시리즈와 해당 모듈 시리즈의 절대적인 수렴을 결정하기 위해 이전 단락에서 논의한 기준을 적용할 수 있습니다. 그러나 발산의 징후에 주의해야 합니다. 일련의 모듈이 발산하면 원래 계열이 (조건부로) 수렴할 수 있습니다. 유일한 예외는 D'Alembert의 테스트와 Cauchy의 급진적 테스트입니다. 왜냐하면 이 표시가 계열의 발산을 나타낼 때 이는 계열의 발산을 의미하지만 and는 계열의 발산을 의미하기 때문입니다.

교대 계열과 관련하여 이러한 특성을 공식화하겠습니다.

달랑베르 징후. , 저것

~에 디 < 1 ряд сходится абсолютно,

~에 디> 1개 행이 분기됨,

~에 디=1개의 연구가 더 필요합니다.

코시 징후는 급진적입니다.교대 시리즈의 경우 , 저것

~에 케이< 1 ряд сходится абсолютно,

~에 케이> 1개 행이 분기됨,

~에 케이= 1개의 추가 연구 필요

예. 우리는 계열의 수렴을 조사합니다. . Cauchy 테스트를 적용해 보겠습니다. – 급수는 절대적으로 수렴합니다.

교대 시리즈 중 특별한 역할소위 교대로 행. 교대 계열은 구성원이 교대로 양수 부호와 음수 부호를 갖는 계열입니다(이전 예 참조). 이러한 시리즈는 일반적으로 다음 형식으로 작성됩니다.

모든 것이 가정됩니다. 피 > 0.

교대 시리즈의 경우

정리 30.9.(라이프니츠의 정리)

교대 급수의 항의 절대값이 감소하는 경우, 즉 피 | 앤| >| 앤+1 |, 그리고 , 그런 다음 계열이 수렴됩니다. 이 경우, 절대값의 계열의 합은 계열의 첫 번째 항의 모듈러스를 초과하지 않습니다. 시리즈의 첫 번째 항과 동일한 부호를 갖습니다.

라이프니츠 정리의 조건을 만족하는 급수를 급수라고 합니다. 라이프니츠 유형.

예. 계열의 수렴을 생각해 보자. . 정리 5.9의 조건이 충족되는지 확인해 보겠습니다. | 앤| >| 앤+1 | 실제로는 > " 피³1, 그리고 또한 , 이는 계열이 수렴한다는 것을 의미합니다. 그리고 이 급수의 절대값 급수는 발산하는 조화 급수이므로 원래 급수는 조건부로 수렴합니다.

논평.라이프니츠 유형 계열의 나머지 부분도 라이프니츠 유형 계열이므로, 계열이 수렴하는 경우 나머지 계열의 절댓값은 첫 번째 항의 모듈러스를 초과하지 않습니다.

|Rn| = |S – S N| £ | 앤 +1 |.

이는 주어진 계열의 합계에 대한 대략적인 계산의 정확성을 평가하는 데 사용하는 것이 편리합니다.

이 섹션은 내가 이 작품을 작가 자신에게 소개하고 싶었던 작품을 읽은 많은 작가들 덕분에 특별한 모습을 보였습니다. 사실 이 주제는 최종적으로 준비가 된 후에야 전체를 게시할 계획이었지만 너무 많은 문제로 인해 많은 분량이에 대한 질문이 있으시면 이제 몇 가지 사항을 간략하게 설명하겠습니다. 이후 자료는 보완되고 확대될 예정이다. 정의부터 시작해 보겠습니다.

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$(여기서 $u_n>0$) 형식의 일련을 교대라고 합니다.

교대 시리즈 구성원의 표시는 엄격하게 번갈아 표시됩니다.

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n=u_1-u_2+u_3-u_4+u_5-u_6+u_7-u_8+\ldots $$

예를 들어, $1-\frac(1)(2)+\frac(1)(3)-\frac(1)(4)+\ldots$는 교대 계열입니다. 부호의 엄격한 교대는 첫 번째 요소에서 시작되지 않지만 융합 연구에서는 중요하지 않습니다.

첫 번째 요소로 시작하지 않는 교대 문자가 왜 중요하지 않습니까? 표시\숨기기

사실 숫자 계열의 속성 중에는 계열의 "추가" 구성원을 삭제할 수 있는 명령문이 있습니다. 다음은 속성입니다.

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ 급수는 나머지 $r_n=\sum\limits_(k=n+1)^(\infty)u_k가 $로 수렴하는 경우에만 수렴합니다. . 따라서 특정 계열에 한정된 수의 항을 버리거나 추가해도 계열의 수렴이 변경되지 않습니다.

특정 교대 계열 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$이 주어지고 이 계열에 대해 라이프니츠 테스트의 첫 번째 조건이 충족된다고 가정하겠습니다. , 즉. $\lim_(n\to(\infty))u_n=0$. 그러나 두 번째 조건, 즉 $u_n≥u_(n+1)$는 특정 숫자 $n_0\in(N)$부터 실행됩니다. $n_0=1$이면 라이프니츠 기준의 두 번째 조건에 대한 일반적인 공식을 얻습니다. 따라서 급수 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n $가 수렴됩니다. $n_0>1$이면 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$ 계열을 두 부분으로 나눕니다. 첫 번째 부분에서는 숫자가 $n_0$보다 작은 모든 요소를 ​​선택합니다.

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n=\sum\limits_(n=1)^(n_0-1)(-1)^(n +1)u_n+\sum\limits_(n=n_0)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n $$

$\sum\limits_(n=n_0)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$ 계열에 대해 라이프니츠 검정의 두 조건이 모두 충족되므로 계열 $\sum\limits_(n= n_0)^(\ infty)(-1)^(n+1)u_n$이 수렴합니다. 나머지가 수렴하므로 원래 계열 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$도 수렴합니다.

따라서 첫 번째 요소부터 시작하여 라이프니츠 테스트의 두 번째 조건이 충족되는지 또는 1000번째 요소부터 충족되는지는 전혀 중요하지 않습니다. 계열은 여전히 ​​수렴됩니다.

나는 라이프니츠의 테스트로 충분하지만 그렇지 않다는 점에 주목합니다. 필요한 조건교대 계열의 수렴. 즉, 라이프니츠 기준의 조건을 만족하면 급수의 수렴이 보장되지만, 이러한 조건을 만족하지 못한다고 해서 수렴이나 발산이 보장되는 것은 아닙니다. 물론 첫 번째 조건을 충족하지 못하는 경우도 있습니다. $\lim_(n\to(\infty))u_n\neq(0)$는 계열 $\sum\limits_(n=n_0)^(\infty)(-1)^(n+의 발산을 의미합니다. 1)u_n$ 그러나 두 번째 조건을 만족하지 못하는 경우는 수렴 계열과 발산 계열 모두에서 발생할 수 있습니다.

일련의 교대 기호는 표준 표준 계산에서 흔히 발견되므로, 나는 표준 교대 기호 계열의 수렴을 검사할 수 있는 체계를 작성했습니다.

물론 일련의 모듈에 대한 수렴 확인을 우회하여 라이프니츠 테스트를 직접 적용할 수도 있습니다. 그러나 표준 교육 예제의 경우 일련의 모듈을 확인하는 것이 필요합니다. 대부분의 표준 계산 작성자는 계열이 수렴되는지 여부를 알아내는 것뿐만 아니라 수렴의 특성(조건부 또는 절대)을 결정해야 하기 때문입니다. 예제로 넘어 갑시다.

예 1

수렴을 위해 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)$ 계열을 조사합니다.

먼저, 이 계열이 정말 번갈아 나오는지 알아봅시다. $n≥1$이므로 $4n-1≥3>0$ 및 $n^2+3n≥4>0$, 즉 모든 $n\in(N)$에 대해 $\frac(4n-1)(n^2+3n)>0$이 있습니다. 따라서 주어진 계열은 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$ 형식을 갖습니다. 여기서 $u_n=\frac(4n-1)(n^ 2 +3n)>0$, 즉 고려중인 시리즈가 번갈아 나타납니다.

일반적으로 이러한 확인은 구두로 수행되지만 건너뛰는 것은 매우 바람직하지 않습니다. 표준 계산의 오류는 드문 일이 아닙니다. 특정 시리즈의 구성원 기호가 시리즈의 첫 번째 구성원이 아닌 교대로 시작되는 경우가 종종 있습니다. 이 경우 계열의 "간섭" 항을 버리고 나머지의 수렴을 조사할 수 있습니다(이 페이지 시작 부분의 참고 사항 참조).

그래서 우리에게는 신호 교대 시리즈가 제공됩니다. 위의 내용을 따르겠습니다. 먼저 이 시리즈의 구성원으로 구성된 일련의 모듈을 만들어 보겠습니다.

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)\right| =\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n-1)(n^2+3n) $$

컴파일된 일련의 모듈이 수렴되는지 확인해 보겠습니다. 비교 기호를 적용해 보겠습니다. 모든 $n\in(N)$에 대해 $4n-1=3n+n-1≥3n$ 및 $n^2+3n≤n^2+3n^2=4n^2$이 있으므로 다음과 같습니다.

$$ \frac(4n-1)(n^2+3n)≥ \frac(3n)(4n^2)=\frac(3)(4)\cdot\frac(1)(n) $$

조화 계열 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$은 발산하므로 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left 계열은 다음과 같습니다. 또한 (\frac(3)(4)\cdot\frac(1)(n)\right)$로 분기됩니다. 따라서 비교 기준에 따라 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n-1)(n^2+3n)$ 계열은 발산합니다. $u_n=\frac(4n-1)(n^2+3n)$을 표시하고 라이프니츠 테스트의 조건이 원래 교대 계열에 대해 충족되는지 확인하겠습니다. $\lim_(n\to(\infty))u_n$을 찾아봅시다:

$$ \lim_(n\to(\infty))u_n =\lim_(n\to(\infty))\frac(4n-1)(n^2+3n) =\lim_(n\to(\infty ))\frac(\frac(4)(n)-\frac(1)(n^2))(1+\frac(3)(n)) =0. $$

라이프니츠 검정의 첫 번째 조건이 충족되었습니다. 이제 부등식 $u_n≥u_(n+1)$이 성립하는지 알아내야 합니다. 상당수의 저자는 계열의 처음 몇 항을 기록한 다음 부등식 $u_n≥u_(n+1)$이 충족된다는 결론을 내리는 것을 선호합니다.

즉, 이 계열에 대한 "증명"은 다음과 같습니다: $\frac(2)(3)≤\frac(5)(8)≤\frac(8)(15)≤\ldots$. 처음 몇 개의 항을 비교한 후 결론이 도출됩니다. 나머지 항의 경우 불평등이 유지되고 이후의 각 항은 이전 항보다 크지 않습니다. 이 "증명 방법"이 어디서 나온 것인지 모르겠지만 잘못된 것입니다. 예를 들어, $v_n=\frac(10^n)(n) 시퀀스의 경우$ получим такие первые члены: $v_1=10$, $v_2=50$, $v_3=\frac{500}{3}$, $v_4=\frac{1250}{3}$. Как видите, они возрастают, т.е., если ограничиться сравнением нескольких первых членов, то можно сделать вывод, что $v_{n+1}>v_n$ для всех $n\in{N}$. Однако такой вывод будет категорически неверным, так как начиная с $n=10$ элементы последовательности будут убывать.!}

불평등 $u_n≥u_(n+1)$을 증명하는 방법은 무엇입니까? 일반적으로 이를 수행하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 우리의 경우 가장 간단한 방법은 $u_n-u_(n+1)$의 차이를 고려하여 그 부호를 찾는 것입니다. 다음 예에서는 해당 함수의 감소를 증명하는 다른 방법을 고려해 보겠습니다.

$$ u_n-u_(n+1) =\frac(4n-1)(n^2+3n)-\frac(4(n+1)-1)((n+1)^2+3(n +1)) =\frac(4n-1)(n^2+3n)-\frac(4n+3)(n^2+5n+4)=\\ =\frac((4n-1)\cdot \왼쪽(n^2+5n+4\오른쪽)-\왼쪽(n^2+3n\오른쪽)\cdot(4n+3))(\왼쪽(n^2+3n\오른쪽)\cdot\왼쪽( n^2+5n+4\right)) =\frac(4n^2+2n-4)(\left(n^2+3n\right)\cdot\left(n^2+5n+4\right) ). $$

$n≥1$이므로 $4n^2-4≥0$이므로 $4n^2+2n-4>0$이 됩니다. 즉, $u_n-u_(n+1)>0$, $u_n>u_(n+1)$. 물론 부등식 $u_n≥u_(n+1)$이 계열의 첫 번째 항에서 충족되지 않는 경우가 있지만 이는 중요하지 않습니다(페이지 시작 부분 참조).

따라서 라이프니츠 기준의 두 조건을 모두 만족합니다. 이 경우에는 계열 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)\right | $가 발산하면 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)$ 계열이 조건부로 수렴합니다.

답변: 계열은 조건부로 수렴합니다.

예 2

수렴을 위해 계열 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$를 조사합니다.

먼저 $\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ 표현식을 고려해 보세요. 조건이 올바른지 확인하기 위해 약간의 검사를 수행하는 것이 좋습니다. 사실은 표준 표준 계산 조건에서 근호 표현이 음수이거나 $n$의 일부 값에 대해 분모에 0이 나타날 때 오류가 발생할 수 있다는 것입니다.

이러한 문제를 피하기 위해 간단한 사전 조사를 해보자. $n≥1$에 대해 $2n^3≥2$가 있고 $2n^3-1≥1$이 있습니다. 즉, 루트 아래의 표현식은 음수이거나 0과 같을 수 없습니다. 따라서 조건은 매우 정확합니다. $\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ 표현식은 모든 $n≥1$에 대해 정의됩니다.

$n≥1$에 대해 불평등 $\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))>0$이 참이라는 점을 추가하겠습니다. 즉, 우리에게는 신호 교대 시리즈가 제공됩니다. 위 내용을 토대로 알아보겠습니다. 먼저 이 시리즈의 구성원으로 구성된 일련의 모듈을 만들어 보겠습니다.

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))\right| =\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1)) $$

주어진 계열의 구성원들의 계수로 구성된 계열이 수렴하는지 확인해 보겠습니다. 비교 기호를 적용해 보겠습니다. 이전 예를 해결하면서 첫 번째 비교 기준을 사용했습니다. 여기서는 순전히 다양성을 위해 두 번째 비교 기호(제한적 형태의 비교 기호)를 적용합니다. $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ 계열을 발산 계열 $\sum\limits_(n과 비교해 보겠습니다. =1)^ (\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1)))(\frac(1)(\sqrt(n))) =\lim_ (n\to\infty)\frac(5n\sqrt(n)-4\sqrt(n))(\sqrt(2n^3-1)) =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac (5n\sqrt(n))(n\sqrt(n))-\frac(4\sqrt(n))(n\sqrt(n)))(\sqrt(\frac(2n^3-1)( n^3))) \lim_(n\to\infty)\frac(5-\frac(4)(n))(\sqrt(2-\frac(1)(n^3))) =\frac (5)(\sqrt(2)). $$

$\frac(5)(\sqrt(2))\neq(0)$ 및 $\frac(5)(\sqrt(2))\neq\infty$부터 $\sum\limits_ 계열과 동시에 (n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$는 발산하고 계열 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n-4) ( \sqrt(2n^3-1))$.

따라서 주어진 교번 계열은 절대 수렴을 갖지 않습니다. $u_n=\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$를 표시하고 라이프니츠 테스트의 조건이 만족되는지 확인하겠습니다. $\lim_(n\to(\infty))u_n$을 찾아봅시다:

$$ \lim_(n\to(\infty))u_n =\lim_(n\to(\infty))\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1)) =\lim_(n\ to(\infty))\frac(\frac(5n)(n^(\frac(3)(2)))-\frac(4)(n^(\frac(3)(2))))( \sqrt(\frac(2n^3-1)(n^3))) =\lim_(n\to(\infty))\frac(\frac(5)(\sqrt(n))-\frac( 4)(n^(\frac(3)(2))))(\sqrt(2-\frac(1)(n^3))) =0. $$

라이프니츠 검정의 첫 번째 조건이 충족되었습니다. 이제 부등식 $u_n≥u_(n+1)$이 성립하는지 알아내야 합니다. 이전 예에서 우리는 차이 $u_n-u_(n+1)$의 부호를 찾아 이 부등식을 증명하는 방법 중 하나를 살펴보았습니다. 이번에는 다른 방법을 사용해 보겠습니다. $u_n=\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ 대신 $y(x)=\frac(5x-4)( \sqrt( 2x^3-1))$는 $x≥1$을 제공했습니다. $x 조건에서 이 함수의 동작은 다음과 같습니다.<1$ нам совершенно безразлично.

우리의 목표는 $y(x)$ 함수가 증가하지 않음(또는 감소함)임을 증명하는 것입니다. $y(x)$ 함수가 증가하지 않는다는 것을 증명하면 모든 값 $x_2>x_1$에 대해 $y(x_1)≥y(x_2)$가 됩니다. $x_1=n$ 및 $x_2=n+1$을 가정하면, $n+1>n$ 부등식은 $y(n)≥y(n+1)$ 부등식의 진실을 암시한다는 것을 알 수 있습니다. $y(n)=u_n$이므로 부등식 $y(n)≥y(n+1)$는 $u_(n)≥u_(n+1)$와 같습니다.

$y(x)$가 감소 함수임을 보여주면 부등식 $n+1>n$은 부등식 $y(n)>y(n+1)$의 진실로 이어질 것입니다. 즉, $u_(n)>u_(n+1)$.

도함수 $y"(x)$를 찾고 $x$의 해당 값에 대한 부호를 알아봅시다.

$$ y"(x)=\frac((5x-4)"\cdot\sqrt(2x^3-1)-(5x-4)\cdot\left(\sqrt(2x^3-1)\right )")(\left(\sqrt(2x^3-1)\right)^2) =\frac(5\cdot\sqrt(2x^3-1)-(5x-4)\cdot\frac(1 )(2\sqrt(2x^3-1))\cdot(6x^2))(2x^3-1)=\\ =\frac(5\cdot\left(2x^3-1\right)- (5x-4)\cdot(3x^2))(\left(2x^3-1\right)^(\frac(3)(2))) =\frac(-5x^3+12x^2- 5)(\left(2x^3-1\right)^(\frac(3)(2))) $$

$x≥1$의 충분히 큰 양수 값의 경우 분모의 다항식은 0보다 작을 것임이 분명하다고 생각합니다. $-5x^3+12x^2-5<0$. Эту "очевидность" несложно обосновать формально - если вспомнить курс алгебры. Дело в том, что согласно лемме о модуле старшего члена, при достаточно больших значениях $|x|$ знак многочлена совпадает с знаком его старшего члена. Адаптируясь к нашей задаче получаем, что существует такое число $c≥1$, то для всех $x≥c$ будет верным неравенство $-5x^3+12x^2-5<0$. В принципе, существования такого числа $c$ уже вполне достаточно для дальнейшего решения задачи.

그러나 문제에 덜 공식적으로 접근해 보겠습니다. 대수학에서 불필요한 보조정리를 포함하지 않기 위해 $-5x^3+12x^2-5$ 표현식의 값을 대략적으로 추정하겠습니다. $-5x^3+12x^2-5=x^2(-5x+12)-5$를 고려해 보겠습니다. $x≥3$의 경우 $-5x+12가 됩니다.<0$, посему $x^2(-5x+12)-5<0$.

따라서 $x≥3$에 대해 $y"(x)가 됩니다.<0$, т.е. функция $y(x)$ убывает. А это, в свою очередь, означает, что при $n≥3$ верно неравенство $u_n>u_(n+1)$, 즉 라이프니츠 검정의 두 번째 조건이 충족되었습니다. 물론 $n=1$이 아닌 $n=3$로 두 번째 조건의 충족을 보여주었지만 이는 중요하지 않습니다(페이지 시작 부분 참조).

따라서 라이프니츠 기준의 두 조건을 모두 만족합니다. 이 경우에는 계열 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1) ) )\right|$가 발산하면 급수 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n) $는 조건부로 수렴합니다.

답변: 계열은 조건부로 수렴합니다.

예 3

수렴을 위해 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(3n+4)(2^n)$ 계열을 조사합니다.

이 예는 그다지 흥미롭지 않으므로 간략하게 쓰겠습니다. 교대 계열이 주어지며 이를 다시 사용하여 살펴보겠습니다. 이 시리즈의 구성원으로 일련의 모듈을 만들어 보겠습니다.

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(3n+4)(2^n)\right| =\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n+4)(2^n) $$

$u_n=\frac(3n+4)(2^n)$을 나타내는 D'Alembert의 부호를 적용하면 $u_(n+1)=\frac(3n+7)(2^(n+1)이 됩니다. )$ .

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_(n)) =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n+7)(2^ (n+1)))(\frac(3n+4)(2^n)) =\frac(1)(2)\lim_(n\to\infty)\frac(3n+7)(3n+4 ) =\frac(1)(2)\lim_(n\to\infty)\frac(3+\frac(7)(n))(3+\frac(4)(n)) =\frac(1 )(2)\cdot(1)=\frac(1)(2). $$

$\frac(1)(2) 이후<1$, то согласно признаку Д"Аламбера ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n+4}{2^n}$ сходится. Из сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{3n+4}{2^n}\right|$, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3n+4}{2^n}$ сходится, причём сходится абсолютно.

주어진 예를 풀기 위해 라이프니츠 테스트가 필요하지 않다는 점에 주목합니다. 그렇기 때문에 먼저 일련의 모듈의 수렴을 확인한 다음 필요한 경우 원래 교대 계열의 수렴을 조사하는 것이 편리합니다.

답변: 계열은 절대적으로 수렴합니다.